¿Qué es funcion gamma?

La función Gamma es una extensión de la función factorial a los números complejos. Se denota por Γ(z) y se define mediante la siguiente integral:

Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1)e^(-t) dt

que converge para Re(z) > 0.

Puntos importantes sobre la función Gamma:

• Definición: La integral define la función Gamma para números complejos con parte real positiva.

• Relación con el factorial: Para enteros positivos n, Γ(n) = (n-1)!. Esto la convierte en una generalización del factorial.

• Propiedad de recurrencia: Γ(z+1) = zΓ(z). Esta propiedad es fundamental para extender la definición de la función Gamma a todos los números complejos, excepto los enteros no positivos (0, -1, -2, ...), donde tiene polos.

• Reflexión de Euler: Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz). Esta identidad relaciona los valores de la función Gamma en z y 1-z.

• Fórmula de duplicación de Legendre: Γ(z)Γ(z + 1/2) = 2^(1-2z)√(π) Γ(2z).

• Valores especiales: Por ejemplo, Γ(1/2) = √π.

• Aplicaciones: La función Gamma aparece en muchas áreas de las matemáticas, la física y la estadística, incluyendo el cálculo de integrales, la teoría de números, la mecánica cuántica y la distribución gamma.